写这篇文章的原因是前一阵子，好友g某因为太菜惹了女友生气，要求他必须上了王者才可以继续一起双排，于是帮他算算在王者荣耀的机制下，胜率与上分效率的关系。
假设一个玩家的胜率为$p(0<=p<=1)$，平均每局的勇者积分为$s(s\in N)$，积分达到$a(a \in N^+)$后保星。经历$k(k \in N^+)$局后，他获得的星数为$n(n \in Z)$。
首先易知，每经历$\frac{a}{s}$局，积分达到一次保星。
忽略人为因素，我们认为这$k$局中局与局之间没有影响，胜负情况满足伯努利分布,即概率质量函数为：
$$
f_X(x)=p^x (1-p)^{1-x}
$$
那么胜利局数期望为：
$$
E[X]=\sum_{i=0}^1 x_i f_X(x)=p
$$
同理,失败局数期望为$1-p$
k局后，通过胜负得到的星数:
$$
n_1=k[p-(1-p)]=2pk-k
$$
通过积分避免失去的星数：
$$
n_2=\frac{ks}{a}
$$
则：
$$
n=n_1+n_2=2pk-k+\frac{ks}{a}\tag{1}
$$
接下来结合游戏考察常量。
对于保星分数$s$查询得到结果如下：
| 段位 | 保星分数 | 升段所需星数 |
|---|---|---|
| 青铜 | 60 | 9 |
| 白银 | 60 | 9 |
| 黄金 | 80 | 16 |
| 铂金 | 150 | 16 |
| 钻石 | 300 | 25 |
| 星耀 | 300 | 25 |
| 王者 | 350 |
对于每局的平均加分，现有加分机制如下：
| 段位 | 加分 |
|---|---|
| 无挂机行为 | 3 |
| 金牌 | 50 |
| 银牌 | 25 |
| 虽败犹荣 | ？ |
| 实力较强 | ？ |
之外，还有连胜奖励与队伍评分奖励：
| 连胜 | 加分 | 局内评分 | 加分 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 第1 | 5 |
| 2 | 5 | 第2 | 4 |
| 3 | 10 | 第3 | 4 |
| 4 | 15 | 第4 | 3 |
| 5及以上 | 20 | 第5 | 3 |
虽败犹荣与实力较强官方没有给出具体数据，就已知数据而言，每局有无挂机的3分，局内评分平均$\frac{5+4+4+3+3}{5}=3.8$分。
计算连胜奖励分，方便起见，记失败概率为$q=1-p$,对于第m局，此局无连胜的概率为第m局胜利、第m-1局失败的概率$pq$,此局1连胜的概率为第m局与第m-1局获胜且第m-2局失败的概率$p^2q$…4连胜概率为$p^5q$,五连胜及以上的概率为$p^6$
$$
E=\sum 3qp^2+5qp^3+10qp^4+15qp^5+20p^6
$$
显然这个式子很不直观，因此我们通过excel绘制p从0至1的奖励分期望：
可以看到当胜率很高时会获得相当多的连胜奖励分，但由于elo系统会使你的胜率在50%附近，我们观察胜率为0.4-0.6的连胜分：
| 胜率 | 连胜分期望 |
|---|---|
| 0.4 | 0.80768 |
| 0.45 | 1.12856 |
| 0.5 | 1.54688 |
| 0.55 | 2.08783 |
| 0.6 | 2.78208 |
实际上大部分玩家在此部分获得的分数为1.5分左右
对于金牌和银牌加分比较难估计，为此我们查看王者营地给出的英雄金牌榜，可以发现场均金牌从0.04到0.25（无敌的蒙犽）不等，计算得出平均值为0.08，当然如果你不常玩榜底的那些冷门英雄时，这个数字还会有所提高。由于没有银牌榜，那么只能进行估算，其难度比金牌低，因此估测为金牌的1.5倍，即场均0.12。这样我们通过金银牌获得的加分为$0.08*50+0.12*25=7
至此，我们已经拥有了3+3.8+1.5+7=15.3分，至于虽败犹荣与实力较强，为便于计算，每个计为2.35分，这样总共我们得到的$s=15.3+2.35*2=20$
正式的计算终于开始了，回到我们的问题，一个胜率为50%的人，上分效率如何呢？
我们将p=0.5，s=20，各段位的保星分数a与所需星数n代入(1)式
例如白银的a为60，n为9:
$$
9=2*0.5k-k+\frac{20k}{60}
$$
解得k=27
于是我们计算得到下表：
| 段位 | 局数 |
|---|---|
| 白银3-黄金4 | 27 |
| 黄金4-铂金4 | 64 |
| 铂金4-钻石5 | 120 |
| 钻石5-星耀5 | 375 |
| 星耀5-王者 | 375 |
当然由于有着排位保护卡以及晋级赛失败的加分机制，譬如刚到钻石和刚到星耀的5张保护卡以及活动的几张保护卡，至少可以使钻石到王者的路上少掉7-8星。
好的，那么小明赛季初钻五开打，尽管小明打的比较菜鸡，但在elo系统的庇护下，维持着的50%的胜率，加上保护卡等因素，我们计他需要375+375-100=650场。一场比赛平均记为25分钟，共需约270小时，一个赛季3个月90天，每天需要3个小时重度游戏，小明成功晋级王者👏
那么如果小明再顶一些呢？
小明认真阅读了英雄技能，看了看攻略，每局认真游戏，他在钻石星耀的胜率提升到了55%。当然随着胜率的上升，每局的加分也会相应上升，我们粗略认为他的s提升到了25。首次上钻石和星耀5张，战令2张保护卡，于是n减去7
直接计算钻5到王者：
$$
25+25-7=2*0.55k-k+\frac{25k}{300}
$$
解得$k\approx 234$
那么此时需要97小时的游戏时间，一个赛季的话需要每天打2-3局。
那么如果小明请代练呢？
小明不满上分效率，去某宝请了一个代练。代练大杀四方，场均金银牌，胜率80%，加分s平均50。
$$
25+25-7=2*0.8k-k+\frac{50k}{300}
$$
解得k=30
此时两三个晚上便可王者。
最后，小明需要多坑才会稳定掉段呢？
既然比较坑，s降为15，将(1)式变形
$$
k=\frac{an}{2ap-a+s}
$$
$k\rightarrow \infty$时，$n<0$,即
$$
p<0.5-\frac{s}{2a}
$$
| 段位 | 稳定掉星所需胜率 |
|---|---|
| 白银 | 37.5% |
| 黄金 | 40.6% |
| 铂金 | 45% |
| 钻石 | 47.5% |
| 星耀 | 47.5% |
| 王者 | 47.9% |
可以看到排位机制还是比较友好的，只要你可以保证高于上面这些胜率，基本就能够稳定上分了。
